洛必达法则（L'Hôpital's Rule）是一个用于处理极限中不定型的有效工具，尤其是在极限形式为\frac{0}{0}或\frac{\infty}{\infty}时，能有效地通过导数简化极限计算。它通常用于计算一些看似复杂的极限问题，尤其当函数的形式比较难直接求解时。
洛必达法则定义
洛必达法则的基本内容是：设 f(x) 和 g(x)是在某邻域内可导的函数，如果在某点 c附近存在以下情形（c可以是有限值或无穷）：
极限形式为\frac{0}{0}或\frac{\infty}{\infty}之一，即
\underset{x\rightarrow c}{\lim}f\left( x \right) =0 且\underset{x\rightarrow c}{\lim}g\left( x \right) =0（或）\underset{x\rightarrow c}{\lim}f\left( x \right) =\infty 且\underset{x\rightarrow c}{\lim}g\left( x \right) =\infty
且f′(x)和 g′(x) 在 c 的某去心邻域内存在，并且 g^{\prime}\left( x \right) \ne 0 在该邻域内。
那么，如果极限\underset{x\rightarrow c}{\lim}\frac{f^{\prime}\left( x \right)}{g^{\prime}\left( x \right)}存在或者为无穷大，则有：
\underset{x\rightarrow c}{\lim}\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}=\underset{x\rightarrow c}{\lim}\frac{f^{\prime}\left( x \right)}{g^{\prime}\left( x \right)}
一句话来说，洛必达法则通过求导来简化不定型极限的计算
洛必达法则证明
证明洛必达法则只需要导数的定义和柯西中值定理。
这里证明其中一种情况，设 f′(x)和 g′(x) 在 c 点附近（即某个去心邻域内）可导，并且 g^{\prime}\left( x \right) \ne 0，并且满足：
\underset{x\rightarrow c}{\lim}f\left( x \right) =0 ，\underset{x\rightarrow c}{\lim}g\left( x \right) =0
柯西中值定理（Cauchy Mean Value Theorem）告诉我们，对于两个在区间(c,x)上可导的函数 f(x) 和 g(x)，存在一个ξ∈(c,x) 使得：
因为 f(c)=g(c)=0，所以我们有：
当 x→c时，ξ→c，因此：
由此得出洛必达法则。
